FRENCH ABSTRACT
Pour un entier arbitraire $$k\ge 1$$ k ≥ 1 , on considère la famille de suites de Lucas déterminée de manière unique par la relation de récurrence $$U_{n+2}(k)=(4k+2)U_{n+1}(k) -U_n(k),$$ U n + 2 ( k ) = ( 4 k + 2 ) U n + 1 ( k ) - U n ( k ) , et les valeurs initiales $$U_0(k)=0$$ U 0 ( k ) = 0 et $$U_1(k)=1$$ U 1 ( k ) = 1 . Pour tout entier $$n\ge 1$$ n ≥ 1 , la fonction discriminante $$\mathcal {D}_k(n)$$ D k ( n ) de $$U_n(k)$$ U n ( k ) est définie comme le plus petit m tel que $$U_0(k),U_1(k),\ldots ,U_{n-1}(k)$$ U 0 ( k ) , U 1 ( k ) , … , U n - 1 ( k ) soient deux à deux non congruents modulo m. Des travaux numériques de Shallit sur $$\mathcal {D}_k(n)$$ D k ( n ) suggère qu’il en existe une caractérisation relativement simple. Dans cet article, on démontre que c’est en effet le cas en établissant que pour tout $$k\ge 1$$ k ≥ 1 , il existe une constante $$n_k$$ n k telle que $${\mathcal D}_{k}(n)$$ D k ( n ) possède une caractérisation simple pour tout $$n\ge n_k$$ n ≥ n k . Le cas $$k=1$$ k = 1 se révèle être de nature totalement différente du cas $$k>1$$ k > 1 .