In den vergangenen Kapiteln haben wir drei wesentliche Typen linearer Operatoren kennengelernt und diskutiert:
Ist X der endlichdimensionale Raum ℝ N , so ist jeder lineare Operator A in X von der Form A(ξ1,…, ξ N ):=(η 1,…,η N ) mit 8.1 $${\eta_i}: = \sum\limits_{{j = 1}}^N {{\alpha_{{ij}}}{\zeta_j}\quad \left( {i = 1, \ldots, N} \right)}$$ Ein Operator der Form (8.1) ist immer beschränkt und kompakt.
• Ist X ein Folgenraum (z. B. ℓ p , ℓ ∞, c oder c 0), so ist ein typischer linearer Operator A in X von der Form A(ξ1,ξ2, ξ3,…):= (η 1, η 2, η 3,…) mit 8.2 $${\eta_i}: = \sum\limits_{{j = 1}}^{\infty } {{\alpha_{{ij}}}{\zeta_j}\quad \left( {i = 1,2,3 \ldots } \right)}$$ Im Unterschied zu (8.1) bilden die α ij hier eine unendliche Matrix. Daher ist ein Operator der Form (8.2) nur unter geeigneten Zusatzbedingungen an diese Matrix, wie wir sie etwa in den Sätzen 6.1 und 6.3 studiert haben, beschränkt oder kompakt.
Ist X ein Funktionenraum (z. B. L p , L ∞ , C oder C α ) über [0,1], so ist ein typischer linearer Operator A in X von der Form Ax(s):= y(s) mit 8.3 $$y(s): = \int_0^1 {k\left( {s,t} \right)x(t)dt\quad \left( {0 \leqslant s \leqslant 1} \right)}$$