Résumé
Pour tout caractère de Dirichlet $$\chi $$ χ de conducteur $$N$$ N on pose $$\begin{aligned} \Theta (\chi )=\sum _{n\in \mathbb Z } n^\epsilon \chi (n)\,e^{-\pi n^2/N} \end{aligned}$$ Θ ( χ ) = ∑ n ∈ Z n ϵ χ ( n ) e - π n 2 / N (où $$\epsilon =0$$ ϵ = 0 pour $$\chi $$ χ pair, $$\epsilon =1$$ ϵ = 1 pour $$\chi $$ χ impair), qui est la valeur de la série thêta correspondante à son point de symétrie par la transformation modulaire $$\tau \rightarrow -1/\tau $$ τ → - 1 / τ . Ces quantités sont reliées à la constante $$W(\chi )$$ W ( χ ) de l’équation fonctionelle de la fonction $$L$$ L associée à $$\chi $$ χ par la formule $$\Theta (\chi )=W(\chi )\Theta (\bar{\chi })$$ Θ ( χ ) = W ( χ ) Θ ( χ ¯ ) , et donc peuvent être utilisées pour calculer rapidement cette constante si elles ne s’annulent pas. Nous montrons que $$\Theta (\chi )\ne 0$$ Θ ( χ ) ≠ 0 pour tout $$\chi $$ χ tel que $$N\le 52{,}100$$ N ≤ 52 , 100 (approximativement 500 millions de caractères primitifs), à l’exception d’exactement deux caractères (à conjugaison complexe près) de conducteurs $$300$$ 300 et $$600$$ 600 . La preuve de l’annulation de $$\Theta (\chi )$$ Θ ( χ ) dans ces deux cas utilise des propriétés de la fonction modulaire de Ramanujan de niveau $$5$$ 5 . Nous donnons aussi une caractérisation de tous les $$\chi $$ χ pour lesquels $$W(\chi )$$ W ( χ ) est une racine de l’unité et présentons des résultats expérimentaux sur les nombres algébriques $$\Theta (\chi )/\eta (i)^{1+2\epsilon }$$ Θ ( χ ) / η ( i ) 1 + 2 ϵ pour $$N$$ N premier.