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RiassuntoNella descrizione di una gran parte di fenomeni nelle scienze applicate e in molteplici aspetti dell’attività tecnica e industriale si fa uso di modelli matematici. Per “modello” intendiamo un insieme di equzioni e/o altre relazioni matematiche in grado di catturare le caratteristiche della situazione in esame e poi di descriverne, prevederne e controllarne lo sviluppo. Le scienze applicate...
RiassuntoIn questo capitolo esaminiamo equazioni a derivate parziali del prim’ordine del tipo 1 $$ u_t + q(u)_x = 0, x \in \mathbb{R},t > 0. $$ In generale, u=u(x,t) rappresenta la densità o concentrazione di una quantità fisica Q e q(u) è la sua funzione flusso1. La (2.1) costituisce una relazione tra densità e flusso e prende il nome di legge di conservazione, per il seguente motivo...
RiassuntoL’equazione di diffusione o del calore per una funzione u=u(x,t), x variabile reale spaziale, t variabile temporale, ha la forma 1 $$ u_t - Du_{xx} = f, $$ dove D è una costante positiva che prende il nome di coefficiente di diffusione. In dimensione spaziale n>1, cioè quando x∈ℝn, l’equazione di diffusione è 1 $$ u_t - D\Delta u = f, $$ dove Δ indica l’operatore di Laplace...
RiassuntoL’equazione di Poisson Δu=f e la sua controparte omogenea, l’equazione di Laplace Δu=0 (in questo caso u si dice armonica), appaiono frequentemente nelle scienze applicate. Per esempio, la temperatura di un corpo omogeneo e isotropo in condizioni di equilibrio è armonica. In questo senso, l’equazione di Laplace descrive il caso stazionario (indipendente dal tempo) dell’equazione di diffusione...
RiassuntoIn questo capitolo ci occupiamo di modelli in cui reazione e diffusione sono in un certo senso, in competizione, ed è particolarmente interessante lo studio dell’evoluzione nel tempo delle soluzioni, per esempio, stabilire se esistono soluzioni stazionarie (indipendenti dal tempo) stabili o asintoticamente stabili.
RiassuntoQuotidianamente abbiamo a che fare con onde sonore, onde elettromagnetiche (come le onde radio o quelle luminose), onde d’acqua, in superficie o in profondità, onde elastiche nei solidi. Fenomeni ondosi emergono anche in contesti e in modi meno macroscopici e noti, come nel caso di onde, di rarefazione e d’urto in un flusso di traffico o in quello delle onde elettrochimiche che regolano il...
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