Parabolic variational inequalities are discussed and existence and uniqueness of strong as well as weak solutions are established. Our approach is based on a Lagrange multiplier treatment. Existence is obtained as the unique asymptotic limit of solutions to a family of appropriately regularized nonlinear parabolic equations. Two regularization techniques are presented resulting in feasible and unfeasible approximations respectively. Monotonicity results of the regularized solutions and convergence rate estimate are established. The results are applied to the Black–Scholes model for American options. The case of the bilateral constraints is also treated. Numerical results for the Black–Scholes model are presented and prove the practical efficiency of our results.
Des inégalités variationnelles paraboliques sont discutées et l'existence et l'unicité des solutions fortes faibles sont établies. Notre approche des solutions utilise une méthode de multiplicateur de Lagrange. L'existence est obtenue comme limite asymptotique unique des solutions à une famille d'équations paraboliques non linéaires convenablement régularisées. Deux techniques de régularisation sont présentées ayant pour résultat des approximations acceptées ou rejetées. Des résultats de monotonie des solutions régularisées et d'évaluation de taux de convergence sont établis. Les résultats sont appliqués au modèle Black–Scholes pour des options américaines. Le cas des contraintes bilatérales est également traité. Des résultats numériques pour le modèle Black–Scholes sont présentés et prouvent l'efficacité pratique de nos techniques.