Given a stochastic differential control system and a closed set K in Rn, we study the that, with probability one, the associated solution of the control system remains for ever in the set K. This set is called the viability kernel of K. If N is equal to the whole set K, K is said to be viable. We prove that, in the general case, the viability kernel itself is viable and we characterize it through some partial differential equations. We prove that, under suitable assumptions, also the boundary of N is viable. As an application, we give a new characterization of the value function of some optimal control problem.
Etant donné un système de contrôle stochastique et un ensemble fermé K dans Rn, nous étudions l'ensemble N⊂K des points x, pour lesquels il existe un contrôle v tel que, avec probabilité 1, la trajectoire de la solution associée au système de contrôle reste pour toujours dans K. On appelle cet ensemble le noyau de viabilité de K. Lorsque N=K, on dit que K est viable. Nous montrons ici que, dans le cas général, le noyau de viabilité est viable et le caractérisons à l'aide d'une équation aux dérivées partielles. Nous montrons que, sous de bonnes hypothèses, le bord de N est ǵalement viable. Finalement, les résultats obtenus nous permettent de caractériser la fonction valeur d'un problème particulier de contrôle optimal.