If OS is the ring of S-integers of an algebraic number field F, and OS has infinitely many units, we show that no finite-index subgroup of SL(2,OS) is left orderable. (Equivalently, these subgroups have no nontrivial orientation-preserving actions on the real line.) This implies that if G is an isotropic F-simple algebraic group over an algebraic number field F, then no nonarchimedean S-arithmetic subgroup of G is left orderable. Our proofs are based on the fact, proved by D. Carter, G. Keller, and E. Paige, that every element of SL(2,OS) is a product of a bounded number of elementary matrices. To cite this article: L. Lifschitz, D.W. Morris, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).
Si OS est l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres F, et OS a une infinité d'unités, nous prouvons qu'aucun sous-groupe d'indice fini de SL(2,OS) n'est ordonnable à gauche. (En d'autres termes, les sous-groupes d'indice fini de SL(2,OS) ne possèdent pas d'action non triviale sur la droite réelle respectant l'orientation.) Cela implique que si G est un groupe algébrique F-simple isotrope, défini sur un corps de nombres F, alors aucun sous-groupe S-arithmétique non-archimédien de G n'est ordonnable à gauche. La démonstration est fondée sur le fait, dû à D. Carter, G. Keller, et E. Paige, que chaque élément de SL(2,OS) est le produit d'un nombre borné de matrices élémentaires. Pour citer cet article : L. Lifschitz, D.W. Morris, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).