We study exponential sums of the form S=2−n∑x∈{0,1}nem(h(x))eq(p(x)), where m,q∈Z+ are relatively prime, p is a polynomial with coefficients in Zq, and h(x)=a(x1+⋯+xn) for some 1⩽a<m. We prove an upper bound of the form 2−Ω(n) on |S|. This generalizes a result of J. Bourgain, who establishes this bound in the case where q is odd. This bound has consequences in Boolean circuit complexity. To cite this article: F. Green et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).
On étudie les sommes exponentielles de la forme S=2−n∑x∈{0,1}nem(h(x))eq(p(x)), où m,q sont des entiers premiers entre eux, p est un polynôme à coefficients dans Zq et h(x)=a(x1+⋯+xn), avec 1⩽a<m. On démontre que |S|<2−Ω(n). Ceci généralise un résultat de J. Bourgain, qui établit cette borne dans le cas où q est impair. Ce théorème a des conséquences dans l'étude de la complexité des circuits booléens. Pour citer cet article : F. Green et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).