We prove stability of the finite element Stokes projection in the product space W1,∞(Ω)×L∞(Ω), i.e., the maximum norm of the discrete velocity gradient and discrete pressure are bounded by the sum of the corresponding exact counterparts, independently of the mesh-size. The proof relies on weighted L2 estimates for regularized Green's functions associated with the Stokes problem and on a weighted inf–sup condition. The domain is a polygon or polyhedron with a Lipschitz-continuous boundary, satisfying suitable sufficient conditions on the inner angles of its boundary, so that the exact solution is bounded in W1,∞(Ω)×L∞(Ω). The triangulation is shape-regular and quasi-uniform. The finite element spaces satisfy a super-approximation property, which is shown to be valid for commonly used stable finite element spaces.
Nous démontrons la stabilité dans W1,∞(Ω)×L∞(Ω) de l'approximation par éléments finis du problème de Stokes, i.e., la norme du maximum du gradient de la vitesse et celle de la pression, calculés par des méthodes d'éléments finis usuelles pour discrétiser le problème de Stokes, sont bornées indépendemment du pas de la discrétisation. La démonstration est basée sur des estimations à poids dans L2 pour des fonctions de Green associées au problème de Stokes et sur une condition inf–sup à poids. Le domaine est un polygone ou un polyèdre à frontière lipschitzienne dont les angles intérieurs satisfont des conditions suffisantes convenables pour assurer que la solution exacte est aussi bornée dans W1,∞(Ω)×L∞(Ω). La triangulation est uniformément régulière.