We study the boundary trace problem for solutions of the equation (E) -Δu + u q - 1 u = 0 in a smooth bounded domain Ω in the supercritical case q =< (N + 1)/(N - 1). A bounded Borel measure ν on Ω, not necessarily positive, is a q-trace if there exists a solution of (E) with boundary trace ν. It is known that the solution is unique. In the first part of the paper we provide a characterization of the space of q-traces in terms of Bessel potentials. In the second part we consider arbitrary positive solutions of (E). Each such solution has a well defined boundary trace which can be represented by a positive, not necessarily bounded, outer regular Borel measure. We provide necessary and sufficient conditions on such a measure ν in order that there exists a solution of (E) with trace ν. It is shown that in this case the solution of the boundary value problem may not be unique.Nous etudions le probleme de la trace au bord des solutions de l'equation (E) -Δu + u q - 1 u = 0 dans un domaine regulier Ω dans le cas sur-critique q =< (N + 1)/(N - 1). Une mesure de Borel bornee ν sur Ω est une q-trace si il existe une solution u de (E) dont la trace au bord est ν. Il est connu que cette solution est unique. Dans la premiere partie de cet article nous donnons une caracterisation de l'espace des q-traces en terme de potentiels de Bessel. Dans la seconde partie nous considerons des solutions positives arbitraires de (E). Chacune de ces solutions a une trace au bord qui peut etre representee par une mesure de Borel, non necessairement bornee, ayant la propriete de regularite exterieure. Nous donnons des conditions necessaires et suffisantes sur une telle mesure ν pour qu'il existe une solution de (E) de trace au bord ν. Nous montrons que dans un tel cas la solution du probleme de valeur au bord peut ne pas etre unique.