By using a version of the tree expansion for the standard map, we prove that the radius of convergence of the corresponding Lindstedt series satisfies a scaling property as the (complex) rotation number tends to any rational (resonant) value, non-tangentially to the real axis. By suitably rescaling the perturbative parameter , the function conjugating the dynamic on the (KAM) invariant curve with given rotation number to a linear rotation has a well defined limit, which can be explicitly computed.
En utilisant une version de l'expansion en arbres pour la serie de Lindstedt de l'application standard, nous montrons que son rayon de convergence satisfait une propriete d'invariance d'echelle lorsque le nombre de rotation (complexe) tend vers n'importe quelle valeur rationnelle (resonante), non tangentiellement a l'axe reel. Si on fait un changement d'echelle convenable sur le parametre perturbatif, la fonction qui conjugue a une rotation lineaire la dynamique sur la courbe (KAM) invariante, avec un nombre de rotation fixe, a une limite bien definie, qui peut etre explicitement calculee.