Let {W(t):t⩾0} denote a standard Wiener process. In this paper, we first establish a de Acosta [A. de Acosta, On the functional form of Lévy's modulus of continuity for Brownian motion, Z. Wahr. Verw. Gebiete 69 (1985) 567–579] type strong law for a family of Hölder norms. More precisely, we obtain, for α∈(0,1/2), the exact rate of convergence, as h↓0, ofTα,f(h):=inf0⩽t⩽1−h‖(2hlog(1/h))−1/2(W(t+h⋅)−W(t))−f‖α when f∈S satisfies ∫01{dduf(u)}2du<1, where S denotes the Strassen [V. Strassen, An invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z. Wahr. Verw. Gebiete 3 (1964) 211–226] set.In a second part we give some general technical tools for evaluating the upper and the lower critical functions of the Hausdorff–Besicovitch measures respectively for limsup random sets and for random Cantor type sets. As an application we deduce the Hausdorff dimension of the random fractal constituted of exceptional points in [0,1] where the previous rate is reached.
Soit {W(t):t⩾0} un processus de Wiener standard. Dans ce papier nous établissons, dans un premier temps, une loi forte de type de Acosta [A. de Acosta, On the functional form of Lévy's modulus of continuity for Brownian motion, Z. Wahr. Verw. Gebiete 69 (1985) 567–579] pour une famille de norme de Hölder. Plus exactement nous obtenons, pour α∈(0,1/2), la vitesse de convergence lorsque h↓0, deTα,f(h):=inf0⩽t⩽1−h‖(2hlog(1/h))−1/2(W(t+h⋅)−W(t))−f‖α quand f∈S vérifie ∫01{dduf(u)}2du<1, où S désigne l'ensemble de Strassen [V. Strassen, An invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z. Wahr. Verw. Gebiete 3 (1964) 211–226].Dans une seconde partie nous proposons des outils techniques généraux servant à exhiber les fonctions critiques supérieures et inférieures qui permettent d'évaluer les mesures de Hausdorff–Besicovitch respectivement pour des ensembles aléatoires de type limsup et pour des ensembles aléatoires de type Cantor. En application nous déduisons la dimension de Hausdorff de l'ensemble fractal aléatoire constitué des points exceptionnels de [0,1] en lesquels la vitesse du résultat de la première partie est atteinte.