Le but de cette Note est de contribuer a l'etude du probleme d'existence de la serie discrete d'un groupe localement compact (non unimodulaire) G. Un de nos principaux resultats (voir theoreme 6.2) donnera une condition necessaire et suffisante d'existence de la serie discrete. Notre approche est basee sur les notions d'unite et d'elements bornes (appeles ici moderes) de L 2 (G), introduites par R. Godement (voir [6]). Nous etudions ces notions. En particulier, nous caracterisons et etudions les unites pures de G via des transformations que nous introduisons et que nous appelons transformations de Plancherel associees. Nous montrons que G admet une representation unitaire, continue, irreductible (en abrege r.u.c.i.) et de carre integrable si et seulement si, l'espace L 2 (G) contient une fonction moderee g non nulle telle que l'operateur K g defini pour tout f dans L 2 (G) par K g (f)=Δ - 1 / 2 g*f*g soit compact (Δ est la fonction module de G). Notre etude redonne une demonstration du theoreme classique de Bargmann (voir [3]) pour les groupes de Lorentz, de celui de Harish-Chandra (voir [5]) pour les groupes de Lie semi-simples et du theoreme de Duflo et Moore (voir [4]) pour les groupes localement compacts non unimodulaires.
Let G be a topological locally compact group. The aim of this Note is a contribution to the study of the existence problem for square integrable continuous and unitary representations for G. One of our main results (Theorem 6.2) will give a necessary and sufficient condition for the existence of the discrete series for G. Our approach is based on the notions of units and bounded elements in L 2 (G) introduced by R. Godement in [6]. We perform a study of these notions. A particular attention is paid to the case of pure units. We associate to each pure unit a transform called Plancherel transform. We characterize the pure units with the use of their Plancherel transforms. We develop new methods giving a new proof to the well known theorem of Bargmann (see [3]) in the case of Lorentz groups, the Harish-Chandra theorem (see [5]) in the case of semi-simple Lie groups and a well known theorem of Duflo and Moore (see [4]) in the case of general nonunimodular locally compact groups. Our methods allow us to give an explicit expression of the formal operator introduced in [4] by Duflo and Moore.